针对 ACC 电路稀疏对称函数的下界：拓展 #SAT 算法的适用范围

我们持续推进通过电路可满足性算法证明电路下界的计划。迄今为止，该计划已产生若干具体结果，通过证明各类电路类 ${\cal C}$ 容许比穷举搜索略快的非平凡可满足性和/或 $\#$SAT 算法，表明 $\text{Quasi-NP} = \text{NTIME}[n^{(\log n)^{O(1)}}]$ 与 $\text{NEXP}$ 中的函数不具有来自这些电路类的小电路。在本文中，我们给出电路类 ${\mathcal C}$ 的非平凡 $\#$SAT 算法的一个新的强下界推论。称对称布尔函数 $f(x_1,\ldots,x_n)$ 为稀疏的，若其在 $O(1)$ 个 $\sum_i x_i$ 的取值上输出 $1$。我们证明对每一个稀疏 $f$ 以及所有“典型” ${\cal C}$，针对 ${\cal C}$ 电路的更快 $\#$SAT 算法实际上意味着对电路类 $f \circ {\cal C}$ 的下界，而该类可能强于 ${\cal C}$ 本身。具体而言：$n^k$ 规模 ${\cal C}$-电路的以 $2^n/n^k$ 时间运行的 $\#$SAT 算法（对所有 $k$）意味着 $\text{NEXP}$ 不具有多项式规模的 $f \circ {\cal C}$-电路。$2^{n^{\epsilon}}$ 规模 ${\cal C}$-电路以 $2^{n-n^{\epsilon}}$ 时间运行的 $\#$SAT 算法（对某个 $\epsilon > 0$）意味着 $\text{Quasi-NP}$ 不具有多项式规模的 $f \circ {\cal C}$-电路。应用文献中的 $\#$SAT 算法，我们结果的一个直接推论是 $\text{Quasi-NP}$ 不具有多项式规模的 $\text{EMAJ} \circ \text{ACC}^0 \circ \text{THR}$ 电路，其中 $\text{EMAJ}$ 为“精确多数”函数，改进了先前针对 $\text{ACC}^0$ [Williams JACM'14] 与 $\text{ACC}^0 \circ \text{THR}$ [Williams STOC'14]、[Murray-Williams STOC'18] 的下界。这是对这类电路类的首个非平凡下界。