关于平方和证明的位复杂度
计算复杂性
2017-02-20 v1
摘要
最近的论文中常声称，如果存在度为 d 的平方和证明，则可以通过椭球算法找到。在[O17]中，Ryan O'Donnell指出这一被广泛引用的主张不一定成立。他给出了一个具有有界系数的多项式系统的例子，该系统允许非负性的低度证明，但这些证明必然涉及具有指数位数的数字，导致椭球算法花费指数时间。本文中，我们获得了关于SoS证明位复杂度的正面和负面结果。首先，我们提出了多项式系统的一个充分条件，该条件意味着SoS证明中系数的一个界。我们证明该充分条件适用于SoS算法的常见用例，如 Max-CSP、Balanced Separator、Max-Clique、Max-Bisection 和 Unit-Vector constraints。在负面方面，O'Donnell问是否每个包含布尔约束的多项式系统都允许多项式位复杂度的证明。我们给出否定回答，给出一个反例系统和非负多项式，该多项式具有度为2的SoS证明，但在度 Omega(sqrt(n)) 之前没有小系数的SoS证明。
引用
@article{arxiv.1702.05139,
title = {On the Bit Complexity of Sum-of-Squares Proofs},
author = {Prasad Raghavendra and Benjamin Weitz},
journal= {arXiv preprint arXiv:1702.05139},
year = {2017}
}