针对 Set-depth-Delta 公式的拟多项式击中集

如果存在一个变量索引 [n] 的（未知）划分 (X_1,...,X_d) 被顶层乘积层所尊重，即 C(x) = \sum_{i=1}^k \prod_{j=1}^{d} f_{i,j}(x_{X_j})，其中 f_{i,j} 是 F[x_{X_j}] 中的稀疏多项式，则称深度 -4 公式 C 为 set-depth-4 公式。将此定义推广到任意深度——如果 C 中的每个 Pi 层都尊重变量上的一个（未知）划分，则称深度-Delta 公式 C（由交替的 Sigma 和 Pi 门层组成，顶层为 Sigma 门）为 set-depth-Delta 公式；若 Delta 为偶数，则最底层 Pi 层的乘积门允许计算任意单项式。在这项工作中，我们为 set-depth-Delta 公式（在任何域上）提供了一个击中集生成器，其运行时间为 exp(({Delta}^2 log s)^{Delta - 1}) 的多项式，其中 s 是输入 set-depth-Delta 公式的大小界限。换言之，我们为这类常数深度公式提供了一个拟多项式时间的黑盒多项式恒等式测试。此前，Delta=3 这一非常特殊的情况（也称为 set-multilinear 深度 -3 电路）尚无已知的亚指数时间击中集生成器。Shpilka & Yehudayoff (FnT-TCS 2010) 将此声明为一个开放问题，该模型最早由 Nisan & Wigderson (FOCS 1995) 研究。我们的工作解决了这个问题，不仅针对深度 -3，而且针对高达 epsilon.log s / loglog s 的深度，其中 epsilon < 1 为固定常数。该技术是通过在对变量应用“平移”后，利用深度-(Delta-1) 公式来研究深度-Delta 公式。我们提出了一个关于后者公式中低支持秩集中性的新代数猜想，并成功在 set-depth-Delta 公式的情况下证明了它。