深度为3的恒等式的一个几乎最优秩界

我们证明，一个简单、极小且为零的深度为3电路（在任意域上）的秩至多为 k^3 log d。此前已知的最佳秩界是 Dvir 和 Shpilka（STOC 2005）给出的 2^{O(k^2)}(log d)^{k-2}。这几乎解决了 Dvir 和 Shpilka 首次提出的秩问题（我们也提供了一个秩为 Ω(k log d) 的简单极小恒等式）。我们的秩界显著改进了 Karnin 和 Shpilka（CCC 2008）已知的最佳确定性黑盒恒等式测试（对 k 的依赖呈指数级降低）。我们的技术也揭示了非零深度-3电路的因式分解模式，最引人注目的是：一个简单、极小且非零的深度-3电路（在任意域上）的线性因子的秩至多为 k^3 log d。这项工作的新颖之处在于提出了一种线性形式集合之间映射的新概念，称为“理想匹配”，用于研究深度-3电路。我们利用这些技术证明了关于深度-3恒等式的有趣结构结果。我们相信，这些结果能够导向为这些电路实现确定性多项式时间恒等式测试的目标。