通过非线性 Edelstein-Kelly 定理给出 $\Sigma^3 \Pi \Sigma \Pi^d$ 电路的秩界与 PIT

我们证明了关于常数次多项式的非线性 Edelstein-Kelly 定理,完全解决了 Gupta(2014)猜想 30 的更强形式,并将 Peleg 和 Shpilka(STOC 2021)的主要结果从二次多项式推广到任意常数次多项式。作为我们结果的推论,我们得到了计算零多项式的顶扇入为 3、底扇入为常数的深度-4 电路(即 $\Sigma^{3}\Pi\Sigma\Pi^{d}$ 电路)的常数秩界。这在 $k=3$ 时,对任意常数次界,解决了 Gupta(2014)猜想 1 的更强形式;此外,这也推进了 Beecken、Mittmann 和 Saxena(Information & Computation, 2013)猜想 28 的研究。我们的秩界与 Beecken、Mittmann 和 Saxena(Information & Computation, 2013)的定理 2 相结合,产生了首个针对 $\Sigma^{3}\Pi\Sigma\Pi^{d}$ 电路的确定性多项式时间 PIT 算法。