小有限域上深度 3 电路深度归约的局限性

最近，Gupta 等人 [GKKS2013] 证明了在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上，任何 $n^{O(1)}$ 元且次数为 $n$ 的 VP 类多项式均可由规模为 $2^{O(\sqrt{n}\log^{3/2}n)}$ 的深度三 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路计算。在固定大小的有限域上，Grigoriev 和 Karpinski 证明了任何计算 $Det_n$（或 $Perm_n$）的 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路的规模必须为 $2^{\Omega(n)}$ [GK1998]。本文证明了在固定大小的有限域上，任何计算 $n$ 个 $n\times n$ 通用矩阵的迭代矩阵乘法多项式的 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路，其规模必须为 $2^{\Omega(n\log n)}$。该结果的重要性在于，在固定大小域上，不存在一种深度归约技术能够利用规模为 $2^{o(n\log n)}$ 的深度 3 电路来计算所有 $n^{O(1)}$ 元且次数为 $n$ 的 VP 类多项式。[GK1998] 的结果仅能排除规模为 $2^{o(n)}$ 的深度 3 电路实现这一可能性。我们还给出了一个 VNP 类（尚未知是否属于 VP）的显式多项式 ($NW_{n,\epsilon}(X)$) 的例子，证明在任何固定大小域上，计算该多项式的任何 $\Sigma\Pi\Sigma$ 电路规模必须为 $2^{\Omega(n\log n)}$。我们所考虑的多项式是基于组合设计构造的。该结果的一个有趣特征是，我们首次得到了两个多项式（一个在 VP 中，一个在 VNP 中）的实例，在一个相当强的计算模型中，它们具有比 Permanent 多项式更严格的电路规模下界证明。接下来，我们证明了在任何域上，计算 $NW_{n,\epsilon}(X)$ 的任何深度 4 $\Sigma\Pi^{[O(\sqrt{n})]}\Sigma\Pi^{[\sqrt{n}]}$ 电路的规模必须为 $2^{\Omega(\sqrt{n}\log n)}$。据我们所知，$NW_{n,\epsilon}(X)$ 是 VNP 中首个已知的显式多项式实例，它需要规模为 $2^{\Omega(\sqrt{n}\log n)}$ 的深度四电路，但目前尚无匹配的已知上界。