针对有界单变量次数的深度四电路的新指数级规模下界

Kayal、Saha 和 Tavenas [Theory of Computing, 2018] 证明，对于所有足够大的整数 $n$ 和 $d$，满足 $d\geq \omega(\log{n})$，任何计算迭代矩阵乘法多项式 ($IMM_{n,d}$) 的、有界单变量次数 $\delta = o(d)$ 的语法深度四电路必须具有规模 $n^{\Omega\left(\sqrt{d/\delta}\right)}$。遗憾的是，该下界随 $\delta$ 值增大而恶化。此外，仅当 $\delta$ 为 $o(d)$ 时该下界才是超多项式的。自然要问：下界中对 $\delta$ 的依赖能否被削弱。为此，在早前结果 [STACS, 2020] 中，我们证明了对于所有足够大的整数 $n$ 和 $d$ 满足 $d = \Theta(\log^2{n})$，任何计算 $IMM_{n,d}$ 的、有界单变量次数 $\delta\leq n^{0.2}$ 的语法深度四电路必须具有规模 $n^{\Omega(\log{n})}$。本文通过证明如下结果取得进一步进展：对于所有足够大的整数 $n$ 和 $d$，以及绝对常数 $a$ 和 $b$ 满足 $\omega(\log^2n)\leq d\leq n^{a}$，任何计算 $IMM_{n,d}$ 的、有界单变量次数 $\delta\leq n^{b}$ 的语法深度四电路必须具有规模 $n^{\Omega(\sqrt{d})}$。我们的下界是通过将 Kumar 和 Saraf [SIAM J. Computing, 2017] 的证明精心适配于我们早前工作 [STACS, 2020] 引入的复杂度度量而得到的。