论齐次深度 4 算术电路的能力

我们证明了计算 $VP$ 中某个显式多项式的齐次深度 4 算术电路大小的指数下界。我们的结果对迭代矩阵乘法多项式成立——特别地，我们证明了计算维度为 $n^{O(1)}$ 的 $n$ 个一般矩阵乘积中 $(1,1)$ 项的任何齐次深度 4 电路的大小必为 $n^{\Omega(\sqrt{n})}$。我们的结果在两个重要方面加强了先前的工作。我们的下界对 $VP$ 中的多项式成立。在我们工作之前，Kayal 等人 [KLSS14] 证明了计算 $VNP$ 中多项式的齐次深度 4 电路（在特征零的域上）的指数下界。对于计算 $VP$ 中多项式的深度 4 齐次电路，此前已知的最佳下界是 [LSS, KLSS14] 给出的 $n^{\Omega(\log n)}$ 界。我们的指数下界也给出了通用算术电路与齐次深度 4 算术电路之间的首个指数分离。特别地，它们蕴含 Koiran [Koi12] 和 Tavenas [Tav13] 的深度归约结果即使对于归约至通用齐次深度 4 电路（无底部扇入有界限制）也是紧的。我们的下界对所有域成立。[KLSS14] 的下界仅在特征零的域上有效。在我们工作之前，特征为正的域上齐次深度 4 电路的最佳下界为 $n^{\Omega(\log n)}$ [LSS, KLSS14]。