算术公式深度约化的极限：一切关乎顶部扇入

近年来，提出了一种非常有前景且令人兴奋的方法来证明算术电路的下界。该方法结合了 Agrawal-Vinay [AV08]、Koiran [Koi12] 和 Tavenas [Tav13] 工作中开发的{\it 深度约化}方法，以及 Kayal [Kay12] 和 Gupta 等人 [GKKS13a] 工作中开发的移位偏导数复杂度度量。这些结果激发了大量其他优美的成果和对各类算术电路的强下界，特别是 Kayal 等人 [KSS13] 最近的工作，通过针对{\it 正则}算术公式的{\it 改进深度约化}展示了超多项式下界。一个引人深思的问题是，这些方法是否能证明一般（齐次）算术公式的超多项式下界，如果是，这确实是算术电路复杂度领域的一个突破。在本文中，我们研究了深度约化和移位偏导数对算术公式的能力与局限。我们通过研究深度 4 齐次算术电路类来实现这一点。我们表明：(1) 对于顶部扇入为 $o(\log n)$ 的齐次深度 4 电路类，首次给出了{\it 超多项式下界}。我们结果的核心是展示了针对这些电路的{\it 改进深度约化}。(2) 我们表明，当顶部扇入为 $\Omega(\log n)$ 时，{\it 不可能}进行改进的深度约化。特别是，这表明 Koiran 和 Tavenas [Koi12, Tav13] 的深度约化过程即使对于齐次公式也无法改进，从而加强了 Fournier 等人 [FLMS13] 关于电路深度约化是紧致的结果，并回答了 [KSS13, FLMS13] 中的一些主要开放性问题。