深度四的鸿沟与张量秩：旧结果与新见解

Agrawal 和 Vinay [AV08] 证明了任意多项式大小的算术电路均可被视为具有次指数大小的深度四算术电路。Korian [Koiran] 随后由 Tavenas [Tav13] 对该模拟中产生的电路大小进行了更细致的分析。我们为这一系列结果提供了一个简单的证明。随后，我们提取了其中的核心要素并将其应用于公式与常数深度电路，为它们展示了更具结构的深度缩减。在一个看似出人意料的结果中，Raz [Raz10] 证明了对于任意 $n$ 和 $d$，若满足 $\omega(1) \leq d \leq O\left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)$，构造具有足够高秩的显式张量 $T:[n]^d \rightarrow F$ 将意味着域 $F$ 上算术公式的超多项式下界。利用我们从算术公式深度缩减证明中获得的额外结构，我们给出了关于此联系的一个新的且可以说更简单的证明。我们还将该结果推广至齐次公式，证明了事实上该联系对于任意满足 $\omega(1) \leq d \leq n^{o(1)}$ 的 $d$ 均成立。