关于 Valiant 意义下一致多项式的固定多项式大小电路下界

假设广义黎曼猜想（GRH），我们证明对于所有$k$，存在系数在$\MA$中的多项式，其在复数域上（允许任何复常数）没有大小为$O(n^k)$的算术电路。我们还构建了一族可以在$\AM$中求值但没有大小为$O(n^k)$的算术电路的多项式。随后，我们研究了布尔设置和算术设置中固定多项式大小电路界限之间的联系。在特征为零的情况下，证明了$\NP \not\subset \size(n^k)$，或$\MA \subset \size(n^k)$，或$\NP=\MA$意味着在假设 GRH 的前提下，复数域上来自类 VNP 的$n$个变量的一致多项式的电路大小存在下界。在正特征$p$下，VNP 中的一致多项式具有固定多项式大小的电路，当且仅当在$F_p$上$\VP=\VNP$且$\Mod_p\P$具有固定多项式大小的电路。