多面体电路直径为强多项式

我们证明了多面体电路直径具有强多项式上界，从而解决了电路直径的多项式哈希问题。具体而言，我们证明具有 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 的多面体 $P = \{x\in \mathbb{R}^n:\, A x = b, \, x \ge 0\}$ 的电路直径为 $O(m^2 \log m)$。我们的构造产生单调电路行走，从而得到单调电路直径的相同上界。电路直径是由Borgwardt、Finhold和Hemmecke(2015年SIDMA)提出的概念，属于允许沿电路方向而非仅沿边缘进行步进的组合直径的自然松弛形式。目前所有关于电路直径的上界都仅为弱多项式。寻找匹配该上界的电路增广算法将产生线性规划的强多项式时间算法，从而解决Smale的第九个问题。