基于回路不平衡度的回路直径界

我们研究多面体的回路直径，该概念由 Borgwardt、Finhold 和 Hemmecke（SIDMA 2015）作为组合直径的松弛引入。我们证明，对于系统 $\{x \in \mathbb{R}^n: Ax=b, 0\leq x\leq u\}$（其中 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$），其回路直径以 $O(m \min\{m, n-m\} \log(m+ \kappa_A)+n \log n)$ 为界，其中 $\kappa_A$ 是约束矩阵的回路不平衡测度。例如，若 $A$ 的所有元素在 $n$ 中具有多项式有界的编码长度，则这给出了强多项式回路直径界。此外，我们提出了使用最小比率回路消去规则的 LP 回路增广算法。尽管标准最小比率回路消去算法一般不是有限的，我们的变体能在 $O(mn^2\log(n+\kappa_A))$ 个增广步内求解一个 LP。