从 Sylvester-Gallai 构型到秩界：深度 3 电路的改进黑盒恒等测试

我们研究了顶部扇入为 $k$、次数为 $d$ 的深度 3 电路的恒等测试问题。我们给出了此类恒等式的一个新结构定理。该定理的一个直接应用将有理数上已知的确定性 $d^{k^k}$ 时间黑盒恒等测试（Kayal-Saraf, FOCS 2009）改进为 $d^{k^2}$ 时间。我们的结构定理本质上说明，实深度 3 恒等式中的独立变量数量非常少。该定理肯定地解决了 Dvir-Shpilka (STOC 2005) 和 Kayal-Saraf (FOCS 2009) 提出的更强秩猜想。我们的技术提供了一个统一框架，实际上超越了所有已知的秩界，从而为黑盒恒等测试提供了最佳运行时间（对于每个域）。我们的主定理（几乎最优地）以一种非常透明的方式确定了高维 Sylvester-Gallai 定理与深度 3 恒等式秩之间的关系。Dvir-Shpilka (STOC 2005) 曾暗示了这种关系的存在，但首先由 Kayal-Saraf (FOCS 2009) 在实数上证明。我们引入了任意域上的 Sylvester-Gallai 秩界概念，并展示了其与深度 3 恒等式秩界之间的紧密联系。我们还证明了关于任意域上高维 Sylvester-Gallai 构型的首个定理。我们的证明和技术与先前结果截然不同，并设计了一个非常有趣的组合与代数结合体。后者的概念是理想论的，并涉及一个新的中国剩余定理。我们的证明方法解释了任何深度 3 恒等式 $C$ 的结构：$C$ 有一个构成低秩恒等式的核，而剩余部分是一个高维 Sylvester-Gallai 构型。