具有块条目的设计矩阵的秩界及其几何应用
组合数学
2018-03-13 v2 计算几何
摘要
设计矩阵是一种稀疏矩阵，其中不同列的支持集在少数位置上相交。在研究涉及具有许多共线三元组的点集问题时，这类矩阵自然出现。在本工作中，我们考虑具有块（或矩阵）条目的设计矩阵。我们的主要结果是对此类矩阵秩的下界，推广了{BDWY12,DSW12}中标量情形所证明的界。由此我们得到了组合几何中的若干应用。第一个应用涉及将结构刚性（或图刚性）的概念扩展到如下情形：我们希望在共线性约束（保持某些三元组共线）下扰动一个点集时，限定“自由度”的数量。其他应用包括子空间构型的渐近紧致的Sylvester-Gallai型结果（改进了{DH16}）以及高维线/曲线构型的新关联界。证明秩界的主要技术工具是将矩阵缩放技术扩展到块矩阵的情形。我们将双随机矩阵的定义推广到具有块条目的矩阵，并推导了双随机缩放存在的充分条件。
引用
@article{arxiv.1610.08923,
title = {Rank bounds for design matrices with block entries and geometric applications},
author = {Zeev Dvir and Ankit Garg and Rafael Oliveira and József Solymosi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1610.08923},
year = {2018}
}
备注
Published in Discrete Analysis