矩阵刚性与鲁棒 PCA 及矩阵补全的不适定性
数值分析
2019-07-12 v2 信息论
数值分析
math.IT
摘要
鲁棒主成分分析(PCA)(Candes 等人,2011)与低秩矩阵补全(Recht 等人,2010)分别是 PCA 的扩展,以分别允许离群值和点缺失。众所周知,求解这些问题需要低秩矩阵与标准基之间的低相干性,因为在极端情况下——当我们希望恢复的矩阵同时也稀疏时——存在固有的歧义。然而,这两个问题中的适定性问题更为基本:在某些情况下,由于低秩加稀疏矩阵的集合不闭,鲁棒 PCA 与矩阵补全可能根本没有任何解,而这又等价于矩阵刚性函数不是下半连续的(Kumar 等人,2014)。通过构造无限矩阵族,我们导出了使低秩加稀疏矩阵集合不闭的秩与稀疏度的界限。我们还通过数值实验证明,针对鲁棒 PCA 与矩阵补全的广泛非凸算法在应用于我们所构造的矩阵时具有发散分量。这可与高阶张量集合在典范多线性(CP)张量秩下不闭相类比,使得最佳低秩张量近似不可解(De Silva 和 Lim,2008),从而鼓励使用多线性张量秩(De Lathauwer,2000)。
引用
@article{arxiv.1811.05919,
title = {Matrix rigidity and the ill-posedness of Robust PCA and matrix completion},
author = {Jared Tanner and Andrew Thompson and Simon Vary},
journal= {arXiv preprint arXiv:1811.05919},
year = {2019}
}
备注
19 pages, 3 figures