张量鲁棒主成分分析：通过凸优化精确恢复受损低秩张量

本文研究了张量鲁棒主成分（TRPCA）问题，该问题将已知的鲁棒PCA（Candes等人，2011）扩展到张量情形。我们的模型基于一种新的张量奇异值分解（t-SVD）（Kilmer和Martin，2011）及其诱导的张量管秩和张量核范数。考虑一个三阶张量${\mathcal{X}}\in\mathbb{R}^{n_1\times n_2\times n_3}$，使得${\mathcal{X}}={\mathcal{L}}_0+{\mathcal{E}}_0$，其中${\mathcal{L}}_0$具有低管秩，${\mathcal{E}}_0$是稀疏的。是否可能恢复这两个分量？在这项工作中，我们证明在某些合适的假设下，通过简单地求解一个目标函数为张量核范数和$\ell_1$-范数加权组合的凸规划，即$\min_{{\mathcal{L}},\ {\mathcal{E}}} \ \|{{\mathcal{L}}}\|_*+\lambda\|{{\mathcal{E}}}\|_1, \ \text{s.t.} \ {\mathcal{X}}={\mathcal{L}}+{\mathcal{E}}$，其中$\lambda= {1}/{\sqrt{\max(n_1,n_2)n_3}}$，我们可以精确地恢复低秩分量和稀疏分量。有趣的是，当$n_3=1$时，TRPCA将RPCA作为一个特例包含在内，因此它是RPCA的一个简单而优雅的张量扩展。数值实验验证了我们的理论，图像去噪的应用证明了我们方法的有效性。