鲁棒主成分分析(robust PCA)与$\ell_1$范数低秩矩阵近似的复杂性

关于分量-wise $\ell_1$范数（$\ell_1$-LRA）的低秩矩阵近似问题，与鲁棒主成分分析(PCA)密切相关，已成为数据挖掘和机器学习中非常流行的工具。鲁棒PCA旨在恢复被稀疏噪声扰动的低秩矩阵，例如在前景-背景视频分离中有应用。尽管人们强烈认为$\ell_1$-LRA是NP-hard的，但据我们所知，尚无对此事实的正式证明。在本文中，我们利用从MAX CUT的归约，证明了$\ell_1$-LRA是NP-hard的，即使在秩一情况下也是如此。我们的推导建立了$\ell_1$-LRA与其他几个著名问题之间的有趣联系，即鲁棒PCA、$\ell_0$-LRA、二值矩阵分解、一个特定的最稠密二部子图问题、$\{-1,+1\}$矩阵的割范数计算以及离散基问题，我们证明了这些问题均为NP-hard。