对称区组设计的加边矩阵的性质
综合数学
2017-09-14 v2
摘要
一个关联结构仅由点集 P 与区组集 B 以及点与区组之间的关联关系构成。本文研究对称 (v,k,λ) 区组设计。对称 (n^2+n+1, n+1,1) 区组设计是 n 阶射影平面。尽管研究甚多，除方程 (v-1)λ=k(k-1)、Schutzenberger 定理与 Bruck-Ryser-Chowla 定理外，无人发现对称 (v,k,λ) 设计存在的任何其他必要条件。对于满足这些要求但未被证明不存在对称 (v,k,λ) 设计的 (v,k,λ)，亦无反例。所有素数幂 n 均存在 n 阶射影平面（除 PG(2,n) 外还已知大量其他构造），但对其他 n 则无已知构造。首先的开放值为 n=10, 12, 15, 18, 20, 24, 26 与 28。Lam, C.W.H.、Thiel, L. 与 Swiercz, S. 通过计算机搜索证明了不存在 10 阶射影平面。是否存在 12 阶射影平面仍属开放。作者引入了 (v,k,λ) 对称设计的加边矩阵，并给出了对称 (v,k,λ) 设计存在的一些新必要条件。作为其应用，易于判定当 n 为 Bruck-Ryser-Chowla 定理不能适用的首批开放值 10, 12, 15, 18, 20, 24, 26 与 28 之一时，不存在有限 n 阶射影平面。对于大 n 该新方法同样有效。一些对称设计也被新方法排除。
引用
@article{arxiv.1707.02208,
title = {The properties of bordered matrix of symmetric block design},
author = {Mingchun Xu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1707.02208},
year = {2017}
}
备注
50 pages, A talk at the ninth Shanghai conference on combinatorics