关于块数量的某些界 III

设 $\mathcal D=(\Omega, \mathcal B)$ 为由 $v$ 个点集 $\Omega$ 和一组由 $\Omega$ 的 $k$ 点子集（称为块）组成的集合 $\mathcal B$ 构成的对。令 $d$ 为 $\mathcal B$ 中不同两块之间交集的最大基数。三元组 $(v,k,d)$ 称为 $\mathcal B$ 的参数。令 $b$ 为 $\mathcal B$ 中块的数量。R. Noda 在论文《Some Bounds for the Number of Blocks》（Europ. J. Combinatorics 22 (2001), 91--94）中证明，对于每个满足 $1\leq i\leq k-d$ 的 $i$，不等式 ${v\choose d+2i-1}\geq b\{{k\choose d+2i-1} +{k\choose d+2i-2}{v-k\choose 1}+.... +{k\choose d+i}{v-k\choose i-1} \}$ 成立。如果 $b$ 达到该上界，则称 $\mathcal D$ 为 $\beta(i)$ 设计。在该文中，给出了 $\beta(i)$ 设计 $\mathcal D$ 的 $v$ 的一个上界和一个下界：$\frac{(d+2i)(k-d)}{i}\leq v \leq \frac{(d+2(i-1))(k-d)}{i-1}$。在本文中，我们考虑了 $v$ 未达到上述上界或下界的情况，并分别得到了关于 $v$ 的更严格的新界。我们将此界应用于 Johnson 方案中完美 $e$-码的问题，并改进了 Roos 于 1983 年给出的界。