上三角矩阵代数的分次、分次恒等式、*-恒等式与分次*-恒等式

令 $K\langle X\rangle$ 为域 $K$ 上由可数集 $X = \{x_1, x_2, \ldots\}$ 自由生成的自由结合代数。若 $A$ 是结合 $K$-代数，我们称多项式 $f(x_1,\ldots, x_n) \in K\langle X\rangle$ 为多项式恒等式，或简称为 $A$ 中的恒等式，若对任意 $a_1,\ldots, a_n \in A$ 都有 $f(a_1,\ldots, a_n) = 0$。考虑 $\mathcal{A}$，即 $UT_3(K)$ 的子代数：$$\mathcal{A} = K(e_{1,1} + e_{3,3}) \oplus Ke_{2,2} \oplus Ke_{2,3} \oplus Ke_{3,2} \oplus Ke_{1,3},$$ 其中 $e_{i,j}$ 表示矩阵单位。我们研究代数 $\mathcal{A}$ 上的分次，由阿贝尔群确定，并证明这些分次是初等的。此外，我们计算了 $\mathcal{A}$ 的 $\mathbb{Z}_2$-分次恒等式的一个基，以及带分次对合的 $\mathbb{Z}_2$-分次恒等式的一个基。此外，我们描述了该代数的特征标。