带转置对合的矩阵的分次多项式恒等式

设$G$为阶为$k$的群。我们考虑复数上$k\times k$矩阵代数$M_k(\mathbb{C})$，并通过正则表示将$G$嵌入对称群$S_k$，再以通常方式将$S_k$嵌入$M_k(\mathbb{C})$，从而将其视为关于$G$的交叉积。这诱导了$M_k(\mathbb{C})$上的一个自然$G$-分次，我们称之为交叉积分次。我们研究配备此种交叉积分次与转置对合的$M_k(\mathbb{C})$的分次$*$-恒等式。对于自由分次对合代数中的每个多重线性单项，我们关联一个带标记的有向图。利用这些图，我们给出了恒等式的$(T,*)$-理想的生成元集。它也导出了Kostant和Rowen关于斜矩阵所满足的标准恒等式结果的新证明。最后我们确定了$M_k(\mathbb{C})$的$*$-分次余维数的渐近公式。