矩阵代数的分次恒等式与通用分次代数

我们考虑 $M_n(\mathbb{C})$ 上的精细 $G$-分次（即复数域上矩阵代数的分次，其中每个分量均为 1 维）。已知提供此类分次的群是可解群。我们研究了 $G$-分次恒等式的 $T$-理想，并证明它由一类特殊的二项式恒等式生成，我们称之为基本恒等式。特别地，我们证明了分次恒等式理想作为 $T$-理想是有限生成的。接下来，给定此类分次，我们通过两种不同的方式构造了一个通用代数 $U_{G,c}$：一种是通过多项式恒等式，另一种是通过通用双上循环（这与非分次情形下的经典构造平行）。我们证明了 $U_{G,c}$ 的适当中心局部化在其中心上是 Azumaya 代数，而且其同态像恰好是 $M_n(\mathbb{C})$ 的 $G$-分次形式。最后，我们考虑中心商环 $Q(U_{G,c})$（这是一个 $F$-中心单代数，其中 $F=\text{Frac}(Z)$ 且 $Z$ 是 $U_{G,c}$ 的中心）。利用作者先前的结果（见 E. Aljadeff, D. Haile 和 M. Natapov, Projective bases of division algebras and groups of central type, Israel J. Math.146 (2005) 317-335 以及 M. Natapov arXiv:0710.5468v1 [math.RA]），我们证明对于一类非常明确（且简短）的幂零群，这是一个除代数。因此，对于 $Q(U_{G,c})$ 不是除代数的群 $G$，可以找到一个非恒等多项式 $p(x_{i,g})$，使得对于某个整数 $r$，$p(x_{i,g})^r$ 是一个分次恒等式。我们用 $M_6(\mathbb{C})$ 的一个精细 $G$-分次来说明这一现象，其中 $G$ 是 $S_3$ 和 $C_6$ 的半直积。