具有 2 次分级恒等式的分级代数

本文致力于研究满足 2 次分级多项式恒等式的分级结合代数。我们证明，对于代数闭域$\mathbb{F}$，如果$\mathfrak{A}_e$满足次数为 2 的多项式恒等式$g=g(x_1^{(e)}, \dots, x_n^{(e)})\in\mathbb{F}\langle X^\mathsf{G} \rangle$，那么$\mathfrak{A}$要么是幂零的，要么具有交换的中性分量，并且我们确保由$g$确定的$\mathsf{G}$-分级簇$\mathfrak{W}^\mathsf{G}$等于$\mathsf{var}^\mathsf{G}([x^{(e)},y^{(e)}])$或对于某个幂零$\mathsf{G}$-分级代数$N$等于$\mathsf{var}^\mathsf{G}(N)$。随后，我们研究了$\mathfrak{A}_e$在$\mathfrak{A}$中为中心所蕴含的意义。所得结果使我们能够证明：当$\mathsf{G}$为有限循环群时，若$\mathfrak{A}$是有限生成的且$\mathfrak{A}_e$在$\mathfrak{A}$中为中心，则$\mathfrak{A}$的交换子理想是幂零的，且代数$\mathfrak{A}^{(-)}=(\mathfrak{A},[\ ,\ ])$是可解李代数；此外，若$\mathsf{G}$具有奇数阶，则对于某个$d\in\mathbb{N}$，在$\mathfrak{A}$中有$[x_1,x_2][x_3,x_4]\cdots[x_{2d-1},x_{2d}]\equiv0$。