中心化子的对称不变量与 Slodowy 分级

设 $\mathfrak{g}$ 为特征零的代数闭域上的 $r$ 秩有限维单李代数，$e$ 为 $\mathfrak{g}$ 中的幂零元。记 $\mathfrak{g}^e$ 为 $e$ 在 $\mathfrak{g}$ 中的中心化子，$S(\mathfrak{g}^e)^{\mathfrak{g}^e}$ 为 $\mathfrak{g}^e$ 的对称不变量代数。若 $S(\mathfrak{g}^e)^{\mathfrak{g}^e}$ 中某些 $r$ 个齐次元在 $\mathfrak{g}^{e*}$ 中的零化簇的余维数为 $r$，则称 $e$ 为好的 (good)。若 $e$ 是好的，则 $S(\mathfrak{g}^e)^{\mathfrak{g}^e}$ 是多项式代数。本文的主要结果表明：若对于 $S(\mathfrak{g}^e)^{\mathfrak{g}^e}$ 的某些齐次生成元，其限制在 $e+\mathfrak{g}^f$ 上的初始齐次分量是代数独立的（其中 $(e,h,f)$ 为 $\mathfrak{g}$ 的一个 $\mathfrak{sl}_2$-三元组），则 $e$ 是好的。作为应用，我们在经典型和例外型单李代数中获得了满足上述多项式条件的新幂零元示例。我们还给出了 $D_7$ 型的一个反例。