矩阵上的多项式不变量与分拆代数、Brauer 代数

我们将分拆代数 $\mathcal{A}_d(\delta)$ 与 Brauer 代数 $\mathcal{B}_d(\delta)$ 中对称群 $\mathfrak{S}_d$ 的中心化子的维数，分别等同于具有 $d$ 条箭头的多重有向图的数量与具有 $d$ 条箭头的互不相交有向圈并的数量。以 Schur-Weyl 对偶为基本理论，我们得出结论：每个中心化子均与 $n\times n$ 矩阵上 $d$ 次齐次多项式的 $G$-不变空间 $P^d(M_n(\mathbf{k}))^G$ 相关，其中 $G$ 分别为正交群与置换矩阵群。我们的方法给出了一种统一方式来证明 $P^d(M_n(\mathbf{k}))^G$ 的维数在 $n$ 足够大时是稳定的。