中心化子的对称不变量与Slodowy分次 II

设$\mathfrak{g}$为代数闭域$\Bbbk$（特征零）上秩为$\ell$的有限维单李代数，并设$(e,h,f)$为g的一个$\mathfrak{sl}_2$-三元组。记$\mathfrak{g}^{e}$为$e$在$\mathfrak{g}$中的中心化子，记${\rm S}(\mathfrak{g}^{e})^{\mathfrak{g}^{e}}$为$\mathfrak{g}^{e}$的对称不变量代数。若${\rm S}(\mathfrak{g}^{e})^{\mathfrak{g}^{e}}$的某$\ell$个齐次元在$(\mathfrak{g}^{e})^{*}$中的零簇余维数为$\ell$，则称$e$为好的。若$e$是好的，则${\rm S}(\mathfrak{g}^{e})^{\mathfrak{g}^{e}}$是多项式代数。本文证明了arXiv:1309.6993主要结果的逆命题成立。即，我们证明$e$是好的当且仅当对某个齐次生成序列$q_1,\ldots,q_\ell$，它们到$e+\mathfrak{g}^{f}$的限制的初始齐次分量在$\Bbbk$上代数无关。