调和分析中的离散类比：Stein-Wainger 定理

对于 $d \geq 2, \ D \geq 1$，令 $\mathscr{P}_{d,D}$ 表示所有 $D$ 维、无线性项的实系数 $d$ 次多项式的集合。我们证明对于任意 Calder\'{o}n-Zygmund 核 $K$，最大调制且最大截断的离散奇异积分算子 \begin{align*} \sup_{P \in \mathscr{P}_{d,D}, \ N} \Big| \sum_{0 < |m| \leq N} f(x-m) K(m) e^{2\pi i P(m)} \Big|, \end{align*} 在 $\ell^p(\mathbb{Z}^D)$ 上有界，其中每个 $1 < p < \infty$。我们的证明引入了基于多项式轨道等分布理论的停止时间，将分析与其连续类比相联系，后者由 Stein-Wainger 提出并研究： \begin{align*} \sup_{P \in \mathscr{P}_{d,D}} \Big| \int_{\mathbb{R}^D} f(x-t) K(t) e^{2\pi i P(t)} \ dt \Big|. \end{align*}