调和分析中的离散类比：与 Carleson 定理相关的极大单项式调制奇异积分

受 Bourgain 关于逐点遍历定理的工作，以及 Stein 和 Stein-Wainger 关于无线性项的极大调制奇异积分工作的启发，我们证明了极大单项式调制离散 Hilbert 变换 $$\mathcal{C}_df(x) := \sup_\lambda \left| \sum_{m \neq 0} f(x-m) \frac{e^{2\pi i \lambda m^d}}{m} \right|$$ 对于任意 $d \geq 2$，在所有 $\ell^p, \ 2 - \frac{1}{d^2 + 1} < p < \infty$ 上是有界的。我们还确立了对于任意保测系统 $(X,\mu,T)$ 以及任意 $f \in L^p(X), \ 2 - \frac{1}{d^2 +1} < p < \infty$，调制遍历 Hilbert 变换（当 $\lambda \to 0$ 时）$$\sum_{m \neq 0} T^m f(x) \cdot \frac{e^{2\pi i \lambda m^d}}{m}$$ 的几乎处处逐点收敛性。