带受限上确界的 $ \ell ^2 $ 上的离散二次卡莱松定理

考虑作用于 $\ell^2(\mathbb Z)$ 函数的离散极大函数 $$\mathcal{C}_{\Lambda} f( n ) := \sup_{ \lambda \in \Lambda} \left| \sum_{m \neq 0} f(n-m) \frac{e^{2 \pi i\lambda m^2}} {m} \right|$$ 其中 $\Lambda \subset [0,1]$。我们给出了 $\Lambda$ 的充分条件（某些类型的康托集满足该条件），使得该算子为有界次线性算子。此结果是 E. M. Stein 积分结果的离散类比，即下述极大算子在 $L^2(\mathbb R)$ 上有界。$$\mathcal{C}_2 f(x):= \sup_{\lambda \in \mathbb R} \left| \int f(x-y) \frac{e^{2\pi i \lambda y^2}}{y} \ dy \right|.$$ 我们结果的证明严重依赖于 Bourgain 关于算术遍历定理的工作，由手头问题的振荡性质产生了新的复杂性，以及由上述参数 $\lambda$ 引起的困难。