关于离散相干测度对

在 [Castillo \& Mbouna, Indag. Math. {\bf 31} (2020) 223-234] 中，引入了带指标 $M$ 的 $(m,k)$ 阶 $\pi_N$-相干测度对的概念。该定义隐式地与标准导数算符相关，自动将所谓的离散正交多项式排除在外。本注记的目的有二：首先我们使用（离散）Hahn 差分算符并在该框架下重写已知结果；其次，作为应用，我们在 $M=0$、$N\leq2$ 且 $(m,k)=(1,0)$ 的情形下详尽刻画（离散）自相干测度对。这是通过以统一方式将关于 Jackson 算符的经典正交多项式描述为四参数 $q$-多项式族的特例或极限情形来证明的。这给出了对 M. E. H. Ismail 在其专著 [Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Cambridge University Press, 2005] 中所提猜想的部分回答。