关于离散正交多项式的差商导数线性相关序列

设 $D_v$ 为差分算子，$q$-差分算子定义为 $D_\omega p(x) = \frac{p(x+\omega)-p(x)}{\omega}$ 和 $D_q p(x) = \frac{q(x)-p(x)}{(q-1)x}$。设 $U$ 和 $V$ 为两个矩正则线性泛函，$(P_n)_n$ 和 $(Q_n)_n$ 为其相应的正交多项式序列 (OPS)。我们讨论了离散正交多项式理论中的一个逆问题，涉及上述两个 OPS，假设它们的高阶 $m$ 和 $k$ (分别) 差商导数 $D_\nu$ 通过如下线性代数结构关系相连：$$\sum_{i=0}^M a_{i,n} D_\nu^m P_{n+m-i}(x) = \sum_{i=0}^N b_{i,n} D_\nu^k Q_{n+k-i}(x), \quad n\geq 0,$$ 其中 $M,N,m,k=0,1,2,...$ 在某些条件下，我们证明 $U$ 和 $V$ 通过有理因子 $\c{c}$ (在分布意义下) 相关联。此外，当 $m\neq k$ 时，$U$ 和 $V$ 均为 $D_v$-半经典泛函。这引导我们提出 $(M,N)-D_v$-阶 $(m,k)$ 相干对的概念，将先前的若干工作推广至离散情形。作为应用，我们考虑了关于某种随后的 Sobolev 型离散内积的 OPS。