涉及多项式导数的时间尺度上偏动态方程的研究

设 $P(m,b,x)$ 为关于 $x,b$ 的 $2m+1$ 次多项式。设二维时间尺度为 $\Lambda^2 = \mathbb{T}_1 \times \mathbb{T}_2 = \{t=(x, b) \colon \; x\in\mathbb{T}_1, \; b\in\mathbb{T}_2 \}$，且满足 $\mathbb{T}_1 = \mathbb{T}_2$。在本文中，我们推导并讨论了一个恒等式，该恒等式将奇次幂多项式的时间尺度导数与在特定点评估的多项式 $P(m,b,x)$ 的偏导数联系起来。对于任意 $t\in\mathbb{T}_1$ 和 $(x,b) \in \Lambda^2$，有 $$\frac{\Delta x^{2m+1}}{\Delta x}(t) = \frac{\partial P(m,b,x)}{\Delta x} (m, \sigma(t), t) + \frac{\partial P(m,b,x)}{\Delta b} (m, t, t)$$ 其中 $\sigma(t) > t$ 为前向跳跃算子。此外，我们在上述方程的偏情形背景下讨论了各种导数算子，展示了有限差分、经典导数、$q-$导数和 $q-$幂导数均可由其表示。