Pollaczek-Jacobi 型正交多项式及其 Hankel 行列式的微分、差分与渐近关系

在本文中，我们研究关于奇异位扰动的 Pollaczek-Jacobi 型权函数 $$w(x,t):=(1-x^2)^\alpha\mathrm{e}^{-\frac{t}{1-x^{2}}},\qquad x\in[-1,1],\;\;\alpha>0,\;\;t>0.$$ 的正交多项式。利用阶梯算子方法，我们分别建立了首一正交多项式的递推系数 $\beta_n(t)$ 与次首项系数 $\mathrm{p}(n,t)$ 所满足的二阶差分方程。我们证明了 $\beta_n(t)$ 的对数导数可以用一个特定的 Painlevé V 超越函数表示。利用 Dyson 库仑流体方法以及相关的差分方程，得到了 $\beta_n(t)$ 和 $\mathrm{p}(n,t)$ 的大 $n$ 渐近展开。进一步，我们研究了相关的 Hankel 行列式 $D_n(t)$，并证明与 $D_n(t)$ 的对数导数相关联的一个量 $\sigma_n(t)$ 可以用一个特定的 Painlevé V 的 $\sigma$-函数表示。我们也得到了 $\sigma_n(t)$ 的二阶微分与差分方程。最后，我们从它们与 $\beta_n(t)$ 和 $\mathrm{p}(n,t)$ 的关系推导了 $\sigma_n(t)$ 和 $D_n(t)$ 的大 $n$ 渐近性。