通过非线性差分方程研究 Hankel 矩阵行列式的渐近性

E. Heine 在 19 世纪研究了一组与权函数$\left[x(x-\alpha)(x-\beta)\right]^{-\frac{1}{2}}$（其中$x\in[0,\alpha]$，$0<\alpha<\beta$）相关的正交多项式系统。C. J. Rees 于 1945 年研究了另一相关系统，其关联权函数为$\left[(1-x^2)(1-k^2x^2)\right]^{-\frac{1}{2}}$（其中$x\in[-1,1]$，$k^2\in(0,1)$）。这些也被称为椭圆正交多项式，因为其权函数的矩可以用椭圆积分表示。此类正交多项式备受关注，因为对应的 Hankel 行列式（依赖于参数$k^2$，其中$0<k^2<1$）是特定 Painlev\'e VI 方程的$\tau$函数，其特例与弦论中出现的计数问题相关。我们证明了递推系数（记为$\beta_n(k^2),\;n=1,2,\dots$）以及${\rm p}_1(n,k^2)$（即关于 Rees 所研究权函数的广义版本$(1-x^2)^{\alpha}(1-k^2x^2)^{\beta}$，$x\in[-1,1]$，$\alpha>-1$，$\beta\in \mathbb{R}$正交的首一多项式中$x^{n-2}$项的系数）满足二阶非线性差分方程。基于差分方程的大$n$展开，结合相关 Hankel 行列式首项的已知渐近性，可得出 Hankel 行列式的完整渐近展开。本文还讨论了 Painlev\'e 方程以及 Rees 发现的线性二阶微分方程的推广形式。