扰动Jacobi权下Hankel行列式的Painlevé III渐近分析

我们研究与权函数 $$w(x;t)=(1-x^2)^{\beta}(t^2-x^2)^\alpha h(x),~x\in(-1,1)$$ 相关的Hankel行列式，其中 $\beta>-1$，$\alpha+\beta>-1$，$t>1$，$h(x)$ 在包含 $[-1,1]$ 的区域内解析，且对 $x\in[-1,1]$ 有 $h(x)>0$。在本文中，基于Deift-Zhou非线性最速下降分析，我们研究了当 $n\to\infty$ 且 $t\to 1$ 时Hankel行列式的双标度极限。我们用Jimbo-Miwa-Okamoto $\sigma$-函数表示Hankel行列式的渐近逼近，该函数对应于Painlevé III方程。还获得了扰动Jacobi多项式的前导系数和递推系数的渐近行为。