格点上正交多项式的相干测度对

我们考虑分别关于正则泛函 ${\bf u}$ 和 ${\bf v}$ 的两个正交多项式序列 $(P_n)_{n\geq 0}$ 和 $(Q_n)_{n\geq 0}$。我们假设 $$\sum_{j=1} ^{M} a_{j,n}\mathrm{D}_x ^k P_{k+n-j} (z)=\sum_{j=1} ^{N} b_{j,n}\mathrm{D}_x ^{m} Q_{m+n-j} (z)\;,$$ 其中 $k,m,M,N \in \mathbb{N}$，$a_{j,n}$ 和 $b_{j,n}$ 是复数序列，$$2\mathrm{S}_xf(x(s))=(\triangle +2\,\mathrm{I})f(z),~~ \mathrm{D}_xf(x(s))=\frac{\triangle}{\triangle x(s-1/2)}f(z),$$ $z=x(s-1/2)$，$\mathrm{I}$ 是恒等算子，$x$ 定义一个格点，且 $\triangle f(s)=f(s+1)-f(s)$。我们证明在一些自然条件下，当 $m=k$ 时泛函 ${\bf u}$ 和 ${\bf v}$ 由一个有理因子相连，而当 $k>m$ 时，${\bf u}$ 和 ${\bf S}_x ^{k-m}{\bf v}$ 是半经典泛函，并且此外 ${\bf S}_x{\bf u}$ 和 ${\bf S}_x ^{k-m+1}{\bf v}$ 由一个有理因子相连。这引出了推广到格点上正交多项式的 $(M,N)$ 阶 $(m,k)$ 相干测度对的概念。