通过双线性$T1$定理刻画紧性

本文解决了关于双线性$T1$定理的一个长期存在的问题，以刻画双线性Calderón-Zygmund算子的（加权）紧性。设$T$是与标准双线性Calderón-Zygmund核相关联的双线性算子。我们证明，$T$可以延拓为一个紧双线性算子，从$L^{p_1}(w_1^{p_1}) \times L^{p_2}(w_2^{p_2})$到$L^p(w^p)$，对所有满足$\frac1p = \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2}>0$且$p_1, p_2 \in (1, \infty]$的指数，以及所有权重$(w_1, w_2) \in A_{(p_1, p_2)}$，当且仅当以下假设成立：(H1) $T$与紧双线性Calderón-Zygmund核相关联，(H2) $T$满足弱紧性性质，以及(H3) $T(1,1), T^{*1}(1,1), T^{*2}(1,1) \in \mathrm{CMO}(\mathbb{R}^n)$。这也等价于端点紧性：(1) $T$是从$L^1(w_1) \times L^1(w_2)$到$L^{\frac12, \infty}(w^{\frac12})$的紧算子，对所有$(w_1, w_2) \in A_{(1, 1)}$，或(2) $T$是从$L^{\infty}(w_1^{\infty}) \times L^{\infty}(w_2^{\infty})$到$\mathrm{CMO}_{\lambda}(w^{\infty})$的紧算子，对所有$(w_1, w_2) \in A_{(\infty, \infty)}$。此外，这些性质中的任何一个都等价于$T$具有紧双线性二进表示。我们的主要方法包括以下新要素：(i) 将紧双线性Calderón-Zygmund算子表示为一些紧双线性二进移位和仿积的平均值；(ii) 双线性算子端点紧性的外推；(iii) 加权Lorentz空间中的紧性准则。最后，为了说明我们结果的可应用性，我们通过包括双线性连续/二进仿积、双线性伪微分算子和双线性交换子在内的例子来演示假设(H1)-(H3)。