Morrey 型空间上双线性算子交换子的精确估计

分别用 $T$ 和 $I_{\alpha}$ 表示双线性 Calderón-Zygmund 算子和双线性分数次积分。本文证明了，若 $b_{1},b_{2}\in {\rm CMO}$（$C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^n)$ 的 ${\rm BMO}$-闭包），则对于某些合适的指标 $p_{0},p_{1},p_{2}$ 和 $q_{0},q$，$[\Pi \vec{b},T]$ 和 $[\Pi\vec{b},I_{\alpha}]$ $(\vec{b}=(b_{1},b_{2}))$ 都是从 $\mathcal{M}^{p_{0}}_{\vec{P}}$（$\mathcal{M}^{p_{0}}_{\vec{P}}$ 的范数严格小于 Morrey 范数的 2-重乘积）到 $M^{q_{0}}_{q}$ 的紧算子。特别地，我们还证明了，若 $b_{1}=b_{2}$，则 $b_{1}, b_{2}\in {\rm CMO}$ 对于 $[\Pi\vec{b},I_{\alpha}]$ 在 Morrey 空间上的紧性是必要的。