一类强奇异积分方程简单离散方法的稳定性分析

受用于介电障碍物电磁散射的离散偶极近似（DDA）的启发——该近似可视为时谐麦克斯韦方程Lippmann-Schwinger型体积积分方程的简单离散，我们分析了一类具有强奇异核的卷积算子的类似离散。对于包含一维有限希尔伯特变换以及二维和三维DDA所用麦克斯韦体积积分算子主部的核函数类，我们表明该方法虽不符合已知的投影方法框架，但仍可视为无穷块Toeplitz矩阵的有限截面法。该矩阵的符号由不绝对收敛的傅里叶级数给出。我们使用Ewald方法获得该符号的指数快速收敛级数表示，并证明其是有界函数，从而能够描述矩阵的谱和数值域。结果表明该数值域包含积分算子的数值域，但在某些情况下严格更大。在这些情况下，离散方法不能提供谱正确的近似，并且虽然它对谱参数$\lambda$的大范围取值是稳定的，但存在某些$\lambda$值使得奇异积分方程适定而离散方法不稳定。