微分算子谱逼近中谱符号函数的分析

给定微分算子$\mathcal{L}$及其本征值问题$\mathcal{L}u = \lambda u$，以及通过离散化格式（如有限差分、有限元、Galerkin等几何分析等）得到的关联代数方程$\mathcal{L}^{(n)} \mathbf{u}_n = \lambda\mathbf{u}_n$，广义局部Toeplitz（GLT）序列理论用于计算与离散算子$\mathcal{L}^{(n)}$关联的谱符号函数$\omega$。我们证明谱符号$\omega$为离散化格式均匀逼近原始微分算子$\mathcal{L}$的谱提供了必要条件。该条件度量了该方法距离$\mathcal{L}$谱的均匀相对逼近有多远。此外，若离散化方法与合适的（非均匀）网格以及方法逼近阶的逐步加密相结合，该条件似乎是充分的。另一方面，尽管近期大量文献中有数值实验，我们反驳了一般而言谱符号$\omega$的均匀采样能够提供谱的准确相对逼近——无论是对$\mathcal{L}$还是对离散算子$\mathcal{L}^{(n)}$——的观点。