带有不连续符号的伪微分算子谱渐近分析

我们研究具有不连续符号形式 $1_\Omega \phi$ 的自伴 Weyl 伪微分算子的离散谱，其中 $1_\Omega$ 为域 $\Omega \subset \mathbb R^2$ 的指示函数， $\phi \in C^\infty_0(\mathbb R^2)$ 为实值函数。已知的是，在一般情况下，这类算子的奇异值 $s_k$ 满足界 $s_k = O(k^{-3/4})$， $k = 1, 2, \dots$。我们证明，如果 $\Omega$ 为多边形，则奇异值以 $O(k^{-1}\log k)$ 的速度衰减。在 $\Omega$ 为扇形时，我们获得渐近公式，从而确认了上述界的尖锐性。我们的主要技术工具是化简为称为“双色”符号的另一个符号，这一符号自动光滑。为了分析双色符号，我们为任意维数 $d \ge 1$ 的 $L^2(\mathbb R^d)$ 中的光滑符号的奇异值找到了新的界限。