有界域上伪微分算子的约化 Weyl 渐近 I. 有限群情形

设 $G\subset \O(n)$ 为作用在 $n$ 维欧几里得空间 $\R^n$ 上的等距变换群，且 ${\bf{X}}$ 为 $\R^n$ 中在 G 作用下保持不变的有界域。考虑 $\L^2(\R^n)$ 中具有 G-不变 Weyl 符号的对称经典伪微分算子 A_0，并假设其下方半有界。我们证明算子 $\mathrm{res} \circ A_0 \circ \mathrm{ext}: \CT({\bf{X}}) \to \L^2({\bf{X}})$ 的 Friedrichs 扩张 A 的谱是离散的，并导出 A 的不超过 $\lambda$ 且特征函数属于 $\L^2({\bf{X}})$ 的 $\chi$-等型分支的特征值个数 $N_\chi(\lambda)$ 的渐近式，同时对 G 为有限群或更一般地紧群两种情形给出余项的估计。特别地，我们证明 $\L^2({\bf{X}})$ 中每个酉不可约表示的重数渐近正比于其维数。