具对称性的约化 Gutzwiller 公式：Lie 群情形

我们考虑 $\mathbb{R}^{2d}$ 上的经典哈密顿量 $H$，其对一个对称 Lie 群 $G$ 不变，其 Weyl 量化 $\hat{H}$ 是 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上的自伴算子。若 $\chi$ 是 $G$ 的一个不可约特征标，我们研究其在由 Peter-Weyl 分解得到的对称子空间 $L^2_{\chi}(\mathbb{R}^d)\subset L^2(\mathbb{R}^d)$ 上的限制 $\hat{H}_{\chi}$ 的谱。我们给出了 $\hat{H}_{\chi}$ 在 $\mathbb{R}$ 中某区间上特征值计数函数的半经典 Weyl 渐近，并在约化空间 $\mathbb{R}^{2d}/G$ 中从几何上予以解释。此外，$\hat{H}_{\chi}$ 的谱密度振荡由一个涉及约化空间周期轨道的 Gutzwiller 迹公式描述，这些周期轨道对应于 $\mathbb{R}^{2d}$ 的拟周期轨道。