通过 Hecke 代数的交换性看扭曲 Gelfand 对

对于局部紧全不连通群 $G$、子群 $H$ 以及特征标 $\chi:H \to \mathbb{C}^{\times}$，我们定义 Hecke 代数 $\mathcal{H}_\chi$，并探讨 $\mathcal{H}_\chi$ 的交换性与 $(G,H)$ 的 $\chi$-Gelfand 性质（即对于 $G$ 的不可约表示 $\rho \in \mathrm{Irr}(G)$，有 $\mathrm{dim}_\mathbb{C}(\rho^*)^{(H,\chi^{-1})} \leq 1$）之间的联系。我们证明 Gelfand-Kazhdan 判据的条件蕴含 $\mathcal{H}_\chi$ 的交换性，并在几个简单情形中验证 $\mathcal{H}_\chi$ 的交换性等价于 $(G,H)$ 的 $\chi$-Gelfand 性质。进而我们证明：若 $G$ 是 $p$-adic 域 $F$ 上的连通约化群，且 $G/H$ 是 $F$-球面的，则 $\mathcal{H}_\chi$ 的尖点部分可交换当且仅当 $(G,H)$ 对所有尖点表示 ${\rho \in \mathrm{Irr}(G)}$ 满足 $\chi$-Gelfand 性质。最后我们证明，若 $(G,H)$ 对所有 $G$ 的不可约 $(H,\chi^{-1})$- tempered 表示满足 $\chi$-Gelfand 性质，则 $\mathcal{H}_\chi$ 可交换。