不变椭圆算子的等变谱函数。$L^p$ 估计、焦散与特征函数的集中

设 $M$ 为紧致无边界黎曼流形，其上有一个紧致李群 $G$ 的有效且等距作用，$P_0$ 为 $M$ 上的不变椭圆经典拟微分算子。利用傅里叶积分算子技术，我们证明了对于 $L^2(M)$ 的 Peter-Weyl 分解中每个同型分量，$P_0$ 的等变（或约化）谱函数的带余项的局部 Weyl 律，推广了 Avacumovi\v{c}、Levitan 和 H\"ormander 的工作。由此我们推导出关于 G-轨道周期的广义 Kuznecov 求和公式，并重新得到了 Stanhope 和 Uribe 证明的轨道空间的局部 Weyl 律。依赖于近期关于振荡积分的奇异等变渐近的结果，我们进一步刻画了约化谱函数在奇异轨道附近的焦散行为，这使我们能够给出特定同型分量中特征函数簇的相应点态估计。在 $G$ 在 $M$ 上无奇异轨道作用的情况下，我们能够在特征值和同型方面推导出对 $2 \leq p \leq \infty$ 的混合 $L^p$ 估计，改进了 Seeger 和 Sogge 对一般特征函数的经典估计。我们的结果在特征值方面是尖锐的，但在同型方面不是，并且在 $G=\{e\}$ 时退化为经典结果。