辛扩张映射与一类新的 Shubin 伪微分算子

对于任意具有 Weyl 符号 $a\in\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R}^{2n})$ 的伪微分算子 $A:\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\longrightarrow\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R}^{n})$，我们考虑与 Weyl 符号 $\widetilde{a}=(a\otimes1_{2k})\circ{s}$ 相关联的伪微分算子 $\widetilde{A}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n+k})\longrightarrow\mathcal{S}^{\prime}(\mathbb{R}^{n+k})$，其中对于所有 $x\in\mathbb{R}^{2k}$ 有 $1_{2k}(x)=1$，且 ${s}$ 是 $\mathbb{R}^{2(n+k)}$ 的线性辛同胚。我们将算子 $\widetilde{A}$ 称为 $A$ 的辛维数扩张。本文详细研究了 $A$ 与 $\widetilde{A}$ 之间的关系，特别是它们的正则性、可逆性和谱性质。我们得到了一个显式公式，可用 $A$ 的本征函数来表示 $\widetilde{A}$ 的本征函数。利用这一形式体系，我们构造了新的伪微分算子类，它们是全局亚椭圆算子 Shubin 类 $HG_{\rho}^{m_{1},m_{0}}$ 的扩张。我们证明，新类中的算子具有 $HG_{\rho}^{m_{1},m_{0}}$ 类算子的可逆性和谱性质，但不具备全局亚椭圆性。最后，我们研究了一些属于新类且在数学物理中重要的算子实例。