无穷阶$\Psi$DOs：与整函数的复合、新Shubin-Sobolev空间及指标定理

我们研究Weyl量子化$a^w$的幂级数的整体正则性与谱性质，其中$a(x,\xi)$是一个经典椭圆Shubin多项式。对合适的整函数$P$，我们关联到$a^{w}$的两个自然无穷阶算子$P(a^w)$与$(P\circ a)^{w}$，并证明这些算子及其低阶扰动是整体Gelfand-Shilov正则的。它们具有由发散至$\infty$的实孤立特征值构成的谱，我们求其特征值计数函数的渐近行为。在文章第二部分，我们通过$f$-$\Gamma^{*,\infty}_{A_p,\rho}$-椭圆符号引入Shubin-Sobolev型空间，其中$f$为超多项式增长函数，$\Gamma^{*,\infty}_{A_p,\rho}$为本文及我们先前论文中研究的无穷阶符号类。我们研究这些空间的正则性性质，并证明所考虑的伪微分算子在其上为Fredholm算子。它们的指标独立于Shubin-Sobolev空间的阶；最后，我们证明该指标可经由Fedosov-Hörmander积分公式表达。