基于定量Agmon估计的分数阶Shubin算子演化方程的零能控性

我们考虑作用于空间$L^2(\mathbb R^n)$上的各向异性Shubin算子$(-\Delta)^m + \vert x\vert^{2k}$，其中$k, m \geq1$为某些正整数。我们在Gelfand-Shilov空间中为这些自伴微分算子的本征函数提供尖锐的定量估计，即这些函数及其在$L^2(\mathbb R^n)$中的傅里叶变换的指数衰减估计。所实施的策略基于谱论中获得Agmon估计的经典方法。通过利用各向异性Shubin算子本征值的Weyl律，我们还描述了这些算子的分数次幂所生成半群的平滑性质，并给出短时间内的精确估计。该描述使我们能够证明：在全空间$\mathbb R^n$上提出的关联演化方程具有正的零能控性结果，其控制支撑关于密度是厚的，且在任意正时间内成立。我们特别地推广了与分数阶谐振子相关演化方程已知的结果。