与分数阶薛定谔算子相关的可观测性结果

我们在紧黎曼流形上建立了涉及分数阶薛定谔算子 $(-\Delta)^{\alpha/2}+V$（$\alpha>0$）的各类问题的可观测性不等式。对于相应的分数阶薛定谔演化方程（$\alpha>1$），证明了只要观测集满足几何控制条件，就能从该开集实现可观测性；并且当流形为配备标准度量的 $d$ 维球面时，该条件也是必要的。这与本征函数的情况形成鲜明对比。我们在二维球面上构造了势函数，使得球面上存在两点，其任意小邻域内均可一致观测 $-\Delta+V$ 的本征函数。该条件远弱于几何控制条件，而后者是球面上自由拉普拉斯算子本征函数一致可观测的必要条件。对于任一 $\alpha>0$ 的 $(-\Delta)^{\alpha/2}+V$ 的本征函数，同样的结果也成立。